BERKELEY : L’ABSTRACTION OPÉRATOIRE

Principes de la connaissance humaine, Introduction, § 16

Traduction de Marilène Phillips, dans le tome 1 des « Œuvres de Berkeley », Paris, Éditions P.U.F., 1985, p. 309-310

On demandera ici : comment pouvons-nous savoir qu’une proposition est vraie de tous les triangles en particulier, à moins de l’avoir vue d’abord démontrée de l’idée abstraite du triangle qui s’applique également à tous ? Car, du fait qu’on peut démontrer qu’une propriété appartient à un triangle en particulier, il ne s’ensuit pas qu’elle appartienne à n’importe quel autre triangle qui ne lui est pas identique à tous égards. Par exemple, ayant démontré que les trois angles d’un triangle rectangle isocèle sont égaux à deux droits, je ne puis en conclure que cette propriété convient à tous les autres triangles qui n’ont ni un angle droit ni deux côtés égaux. Afin d’être certains que cette proposition est universellement vraie, il semble donc que nous devions, ou bien en faire une démonstration particulière pour chaque triangle particulier, ce qui est impossible ; ou bien, la démontrer, une fois pour toutes, de l’idée abstraite du triangle que partagent tous les particuliers et qui les représente tous. Ce à quoi je réponds que, bien que l’idée que j’ai en tête pendant que je fais ma démonstration soit celle, par exemple, d’un triangle rectangle isocèle dont les côtés sont d’une longueur déterminée, je peux néanmoins être certain que cette idée s’étend à tous les autres triangles rectilignes, quelles que soient leur figure et leur grandeur. Et ceci, parce que ni l’angle droit ni l’égalité ou la longueur déterminée des côtés n’interviennent en rien dans la démonstration. Il est vrai que la figure que j’ai en tête comprend tous ces particuliers ; mais ensuite, aucune mention n’est faite de ces derniers pour prouver la proposition : on ne dit pas que les trois angles sont égaux à deux droits parce que l’un des deux est un angle droit, ou parce que les côtés adjacents sont de la même longueur. Ce qui suffit pour montrer que l’angle droit aurait pu être oblique, les côtés auraient pu être inégaux, la démonstration n’en serait pas moins valable. Telle est la raison qui me fait conclure que, ce que j’ai démontré d’un triangle particulier, rectangle et isocèle, est vrai de tout triangle obliquangle ou scalène ; et non pas parce que je l’aurais démontré de l’idée abstraite de triangle.

La structure de ce texte est évidente : la parole est d’abord donnée à un interlocuteur indéterminé qui pose une certaine question (« On demandera ici … ») et la développe jusqu’à ce que Berkeley lui-même intervienne pour répondre (« Ce à quoi je réponds … ») et développer sa propre réponse.

Il s’agit clairement d’une question polémique, d’une de ces questions qu’on formule en étant persuadé que celui à qui elle s’adresse ne pourra pas répondre. « Voilà ce qu’on pourrait me demander en croyant m’embarrasser », suggère ainsi Berkeley dans la première moitié du texte. Cette question prétendument embarrassante, c’est celle-ci : « comment pouvons-nous savoir qu’une proposition est vraie de tous les triangles en particulier » ? L’adversaire supposé enchaîne en fournissant aussitôt sa réponse, celle dont il tentera de montrer dans les lignes suivantes qu’elle est forcément la bonne réponse puisqu’elle est la seule possible : si nous pouvons savoir qu’une proposition est vraie de tous les triangles, c’est, affirme-t-il, parce que nous l’avons « d’abord démontrée de l’idée abstraite du triangle qui s’applique à tous ». Or cette explication, c’est justement celle que Berkeley ne peut pas donner, celle que sa philosophie lui interdit de donner. À une question incontournable, concernant la possibilité de cette géométrie que tous, y compris lui-même, reconnaissent comme étant le modèle de la certitude scientifique, il est incapable de fournir la seule réponse qui soit concevable : cela suffit, pense l’adversaire, pour disqualifier sa philosophie.

La notion cruciale du débat est donc celle d’« idée abstraite ». Deux phrases du texte nous éclairent sur ce que Berkeley lui-même appelle une « idée ». « J’ai en tête », écrit-il dans la première, « l’idée … d’un triangle rectangle isocèle dont les côtés sont d’une longueur déterminée », bref d’une figure particulière, d’une chose unique, comme le sont toutes les choses que nous pouvons rencontrer. Mais plus loin il écrit, parlant du même triangle : « la figure que j’ai en tête » : le mot « idée » a disparu de la seconde phrase, dont le contenu est pourtant identique à celui de la première. Avoir en tête l’idée d’une chose, cela revient donc, pour Berkeley, à avoir en tête cette chose même, à la percevoir dans ce qui la caractérise en propre. Peut-il exister alors une idée « abstraite », une idée qui serait toujours la perception par l’esprit de quelque chose, mais d’un quelque chose différant de toutes choses particulières que nous pouvons rencontrer ? Peut-il exister, par exemple, une idée du triangle ne contenant rien de ce qui caractérise en propre tel ou tel triangle, ne conservant que ce qui est commun à tous les triangles et nous faisant ainsi percevoir le triangle « en général » ? Qu’il n’existe rien de tel, ni à propos de triangle ni à propos d’autre chose, c’est effectivement une thèse fondamentale de Berkeley, thèse qu’il justifie à la fois par l’expérience et par le raisonnement : par l’expérience, car chacun peut vérifier sur lui-même qu’il n’a en tête aucune idée d’un triangle qui ne serait ni rectangle, ni obtusangle, ni acutangle, ni isocèle, ni équilatéral, ni scalène ; par le raisonnement, car l’idée d’un triangle qui serait tout cela à la fois ne peut être qu’une idée contradictoire. Mais s’il en est ainsi, demande l’adversaire, « comment pouvons-nous savoir qu’une proposition est vraie de tous les triangles » ?

Il est hors de doute, pour Berkeley comme pour son adversaire, que nous connaissons de telles propositions : nous savons, par exemple, que la proposition « la somme des angles est égale à deux droits » est vraie de tous les triangles. Et il est hors de doute, pour Berkeley comme pour son adversaire, qu’en géométrie rien ne peut être reconnu comme vrai que ce qui a été démontré. Dès lors, soutient l’adversaire, ce qui est reconnu comme vrai de tous les triangles doit avoir été démontré de tous les triangles : il n’y a pas moyen d’y échapper. « Car, argumente-t-il, du fait qu’on peut démontrer qu’une propriété appartient à un triangle en particulier, il ne s’ensuit pas qu’elle appartienne à n’importe quel autre triangle » pour lequel elle n’a pas encore été démontrée. Certains triangles, comme celui qui est à la fois rectangle et isocèle, combinent plusieurs particularités significatives, ce qui les distingue de la masse des autres ; supposons alors, ajoute l’adversaire, que j’aie «démontré que les trois angles d’un triangle rectangle isocèle sont égaux à deux droits » : puis-je en conclure « que cette propriété convient à tous les autres triangles qui n’ont ni un angle droit ni deux côtés égaux » ? Il est clair que je ne serais autorisé à tirer cette conclusion que si je l’avais démontrée de « tous ces autres triangles ». 

De deux choses l’une, poursuit l’adversaire de Berkeley. Afin d’être « certains » que l’égalité de la somme des trois angles d’un triangle à deux droits est « universellement vraie », ou bien nous devons « en faire une démonstration particulière pour chaque triangle particulier », ou bien nous devons la démontrer « de l’idée abstraite du triangle », autrement dit du triangle en général. Il n’y a pas pour nous de troisième option si nous voulons ne reconnaître comme vrai, en géométrie, que ce qui a déjà été démontré. Or il se trouve que la première branche de cette alternative obligatoire est « impossible » : à aucun moment du temps nous ne pouvons avoir achevé l’infinité des démonstrations particulières qui seraient nécessaires pour que la proposition en question soit démontrée de « tous » les triangles particuliers. Il est en revanche possible, sans avoir à prendre tous ces triangles un par un, d’effectuer la démonstration « une fois pour toutes » sur une idée qui les « représente » tous parce qu’elle nous donne en une fois ce qui est commun à tous : l’idée abstraite du triangle. Quand, après avoir ramené un problème à une alternative obligatoire, on découvre ainsi qu’une des deux branches est impossible, la solution ne peut être que celle qui reste possible. L’existence des idées abstraites doit donc être reconnue par tous ceux – Berkeley en fait partie – qui admettent la possibilité d’établir par démonstration des vérités universelles.

Il est permis de voir dans cette solution une forme de prodigalité. Les idées de choses concrètes et particulières ne suffisent pas à l’adversaire de Berkeley, il lui faut en outre des idées abstraites et générales : sa théorie augmente le nombre d’entités dont nous avons besoin pour expliquer ce que nous désirons expliquer. La théorie que Berkeley lui opposera économise au contraire ces entités : ce qui nous permet d’expliquer les vérités particulières est tout à fait suffisant, va-t-il montrer dans la deuxième moitié du texte, pour nous permettre d’expliquer également les vérités universelles. Et puisque l’adversaire justifiait sa prodigalité en la présentant comme la seule solution possible d’un problème, il suffira à Berkeley, pour le réfuter et imposer une stricte économie, de résoudre ce problème autrement.

Contentons-nous donc des idées dont personne ne nie l’existence, à savoir de nos idées de choses particulières, de triangles particuliers, par exemple de l’idée d’un triangle rectangle isocèle dont les côtés sont d’une longueur déterminée. Telle est l’idée que j’ai en tête « pendant que je fais ma démonstration » de l’égalité des trois angles à deux droits. Or il est bien certain, convient Berkeley, que ce théorème « fait abstraction » des particularités du triangle que j’ai en tête : il fait abstraction de la longueur des côtés, de leur égalité et du fait que l’un des angles est droit. Mais que signifie au juste cette abstraction ? Est-ce que j’aurais en tête deux triangles, est-ce qu’au triangle particulier, d’une grandeur déterminée, que voient mes yeux de chair, s’ajouterait un autre triangle, un triangle général, d’une grandeur indéterminée, qui serait vu par l’œil de l’esprit ? Non : l’expression « faire abstraction » ne désigne pas la contemplation d’une idée, elle désigne une action, une opération, et une opération qui ne consiste pas à ajouter, mais au contraire à soustraire, à éliminer, négliger, ne pas tenir compte. Voilà tout le secret de l’abstraction géométrique : j’ai en tête un seul triangle, un triangle « concret », particulier, déterminé, avec un angle droit, deux côtés égaux et une grandeur déterminée, mais je puis me permettre de ne pas tenir compte, dans ma conclusion, de toutes ces particularités, car « ni l’angle droit ni l’égalité ou la longueur déterminée n’interviennent en rien dans la démonstration ». L’abstraction est opératoire.

Dès lors que ni l’angle droit, ni l’égalité ou la longueur déterminée « n’interviennent en rien » dans la démonstration, dès lors qu’« aucune mention » n’en est faite « pour prouver la proposition », dès lors qu’« on ne dit pas que les trois angles sont égaux à deux droits parce que l’un des deux est un angle droit, ou parce que les côtés adjacents sont de la même longueur », j’ai le droit de conclure que ce que j’ai démontré d’un triangle qui possède ces particularités, j’aurais pu le démontrer de n’importe quel triangle qui ne les posséderait pas ; autrement dit, de « conclure que ce que j’ai démontré d’un triangle particulier, rectangle et isocèle, est vrai de tout triangle obliquangle ou scalène », bref de tous les triangles. Bien que mon idée reste l’idée de ce triangle-ci, différent des autres, « je peux néanmoins être certain que cette idée s’étend à tous les autres triangles ». Je n’ai pas eu besoin, pour parvenir à cette certitude, de réaliser ce que l’adversaire déclarait à juste titre impossible, à savoir démontrer la proposition en question sur chaque triangle particulier. Je n’ai pas eu besoin non plus de faire ce qu’il croyait à tort nécessaire, à savoir démontrer « une fois pour toutes » cette proposition sur une idée abstraite qui « représenterait » tous les triangles. Je l’ai pourtant démontrée, moi aussi, « une fois pour toutes », et sur une idée qui « représente » également, en un sens, tous les triangles. Mais elle ne les représente pas comme le ferait la prétendue idée abstraite, c’est-à-dire à la manière d’un tableau offrant à contempler le « triangle en général ». Elle les représente comme un signe représente ce qu’il signifie. N’importe quel triangle peut être le signe de tous les triangles si ses caractéristiques particulières « n’interviennent en rien » dans la démonstration qu’on effectue sur lui.

Quand nous lisons, dans la deuxième définition du Premier Livre des Éléments d’Euclide, qu’« une ligne est une longueur sans épaisseur », nous sommes tentés de penser, avec toute une tradition remontant à Platon, qu’un abîme sépare cette ligne idéale de celle qu’on trace, avec son épaisseur d’encre, sur une feuille de papier. Ce qu’implique au fond la position ici défendue par Berkeley, c’est que le géomètre n’a pas d’autre objet, en réalité, que les lignes épaisses dont on fait des triangles grossiers : ses figures sont celles de l’arpenteur. L’expression « ligne sans épaisseur » ne désigne pas une ligne parfaite qui transcenderait toutes les lignes de ce monde : elle signifie simplement qu’en géométrie on se donne le droit de parler des lignes sans tenir compte de leur épaisseur.

En lien avec cette explication, on pourra lire, dans le chapitre "Penser avec les maîtres":

- Berkeley: Où est l'extravagance?

Dans le chapitre "Explications de textes":

- Berkeley: Signes et choses signifiées

Dans le chapitre "Conférences":

- Berkeley et les mathématiques

Et dans le chapitre "Notions":

- La Démonstration

- La Matière

BIBLIOGRAPHIE

Claire SCHWARTZ, Berkeley et les idées générales mathématiques, Revue philosophique de la France et de l'étranger, vol. 135, 2010/1, Éditeur P.U.F., p. 31-44