LA DÉMONSTRATION

Démontrer, c’est établir la vérité d’une proposition en prouvant qu’elle résulte nécessairement d’autres propositions vraies. Une vérité « démontrée » se distingue donc d’une vérité simplement « montrée » en ce qu’elle est logiquement nécessaire, déduite d’autres vérités. Certaines démonstrations sont toutefois à la limite de la « monstration ». Quand Socrate, dans le Ménon de Platon (82b-85d), fait retrouver par un jeune garçon le théorème selon lequel la diagonale d’un carré donné est le côté d’un autre carré double en surface du précédent, il procède essentiellement par construction de figure, l’élément déductif demeurant en grande partie implicite. En revanche, quand Aristote, dans les Premiers Analytiques (14a26), démontre que le rapport entre la diagonale du carré et le côté est un nombre irrationnel, il l’établit par l’absurde, par l’impossibilité de concevoir arithmétiquement un tel rapport : il prouve qu’il ne peut en être autrement, il ne montre pas pourquoi. Une double polarité apparaît ainsi dès les premières démonstrations qui nous sont connues : d’un côté la construction, le recours à l’intuition, à la vision, de l’autre la confiance aveugle dans la validité de la logique. Cette double polarité met la démonstration dans une situation précaire : à trop se fier à l’intuition elle risque de manquer son objectif, qui est d’établir, non de simples propositions vraies, mais des propositions nécessairement vraies ; à trop se fier à la pure déduction elle risque également de le manquer en ne montrant pas pourquoi ces propositions sont nécessairement vraies.

La démonstration euclidienne et sa critique mathématique

La double polarité de la démonstration se retrouve dans les treize livres des Éléments de géométrie et d’arithmétique attribués à Euclide (IVe-IIIe siècles avant J.–C.), ouvrage monumental qui fut longtemps un modèle pour les mathématiciens et les philosophes. Il fut également, pour les uns et pour les autres, un objet de critique, mais dans un esprit fort différent.

L’ambition d’Euclide était clairement de démontrer toutes les propositions démontrables, autrement dit les « théorèmes », et de ne dispenser de démonstration qu’un minimum de propositions indémontrables. Dans ce contexte, le mot « indémontrable » ne dénote rien de négatif à l’égard de la démonstration, comme ce serait le cas si l’on voulait signifier que certains domaines (par exemple celui des sentiments) ne se prêtent pas à la démonstration ou même lui sont hostiles. « Indémontrable », ici, désigne les propositions les plus essentielles à la démonstration, celles qui vont permettre de démontrer toutes les autres, celles qu’il faut donc poser dès le commencement : les vingt-trois définitions (définition du point, de la ligne, etc.), les cinq « notions communes » ou « axiomes » (par exemple « le tout est plus grand que la partie »), et enfin les cinq « demandes » ou « postulats » (dont le plus célèbre est le cinquième, reformulé par Proclus de la façon suivante : « Par un point hors d’une droite on ne peut mener qu’une parallèle à cette droite »).

C’est sur ce cinquième postulat que s’est focalisée, depuis l’Antiquité, la critique mathématique de la démonstration euclidienne. S’agissait-il réellement d’un cinquième postulat, indépendant des quatre premiers ? Ne fallait-il pas plutôt penser que les quatre premiers postulats suffisaient, et que le prétendu cinquième était un théorème déguisé, une proposition que l’on pouvait démontrer à partir d’eux ? À maintes reprises, on tenta de le démontrer, en vain, jusqu’à ce que soit acquise, au XIXe siècle, la certitude qu’il s’agit bien d’un postulat indépendant des quatre autres. En même temps que cette découverte donnait raison à Euclide, elle permettait, paradoxalement, de concevoir d’autres géométries que la sienne. Car à partir du moment où l’indépendance du cinquième postulat était établie, on pouvait, tout en conservant les quatre autres, le remplacer par un postulat différent, admettre que « par un point hors d’une droite passent une infinité de parallèles à cette droite », ou que « par un point hors d’une droite ne passe aucune parallèle à cette droite ». La première option fut celle de Lobatchevski, dont la géométrie démontre (entre autres) que la somme des angles d’un triangle est nécessairement inférieure à 180° et que le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre est nécessairement supérieur à π. La seconde fut celle de Riemann, dont la géométrie démontre que la somme des angles d’un triangle est nécessairement supérieure à 180° et que le rapport entre la circonférence et le diamètre est nécessairement inférieur à π.

L’apparition de ces géométries non-euclidiennes a complètement bouleversé la notion même de démonstration en mathématiques. Quand Euclide postulait que par un point hors d’une droite on ne peut mener qu’une seule parallèle à cette droite, il ne prétendait pas seulement poser le premier maillon d’un enchaînement déductif, il prétendait formuler un énoncé évident, un énoncé fondé sur notre intuition de la structure de l’espace, et transmettant son évidence à tous les énoncés ultérieurs. Une telle prétention n’est plus de mise quand on reconnaît l’existence de plusieurs géométries, à qui on demande seulement d’être des systèmes déductifs cohérents : la double polarité de la démonstration disparaît alors au seul profit de la seule logique. Et la question de la véritable structure de l’espace cesse de relever de la géométrie pure pour faire l’objet d’une enquête physique : Einstein établira que cette structure n’est pas euclidienne, mais riemannienne.

La critique philosophique de la démonstration euclidienne

L’aboutissement de la critique mathématique d’Euclide fut ainsi de dépouiller la géométrie du recours à l’évidence intuitive, recours qui s’était révélé trompeur. C’est dans une direction diamétralement opposée que certains philosophes ont contesté la valeur de la démonstration euclidienne, lui reprochant cette fois de trop accorder à la logique et pas assez à l’intuition. Au chapitre 15 de son ouvrage Le monde comme volonté et comme représentation, Schopenhauer nous offre un exemple extrême, caricatural même, de cette attitude. Prenant pour cible, en particulier, la façon dont Euclide démontre le théorème dit « de Pythagore », il affirme que « nous sommes certainement forcés de reconnaître, en vertu du principe de contradiction, que ce qu’Euclide démontre est bien tel qu’il le démontre, mais nous n’apprenons pas pourquoi il en est ainsi » Quatre arguments sont impliqués dans cette critique :

a- La démonstration euclidienne, ne donne pas le « pourquoi », ne fait pas apparaître la cause, par exemple la raison pour laquelle le carré de l’hypoténuse doit être égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

b- La démonstration euclidienne n’ « apprend » pas, elle n’est pas la procédure par laquelle on découvre une vérité nouvelle, elle est tout au plus une procédure d’exposition des vérités déjà connues.

c- Dès lors, au lieu d’associer le lecteur à la connaissance de la vérité, la démonstration euclidienne le traite pour ainsi dire en ennemi, le « forçant » à reconnaître ce qu’il ne comprend toujours pas.

d- Alors qu’il s’agit de géométrie, et qu’il faudrait donc faire appel aux intuitions particulières qui nous permettent de comprendre les relations dans l’espace, la démonstration euclidienne s’appuie essentiellement sur le « principe de contradiction », autrement dit sur un principe qui relève d’une autre science, celle de la logique. C’est comme si quelqu’un se coupait les jambes pour faire avec des béquilles ce qu’il aurait pu faire en marchant.

Pourquoi la science doit-elle démontrer ?

Abstraction faite de la portée critique que Schopenhauer voulait leur donner, les quatre arguments précédents peuvent nous servir pour caractériser quatre doctrines philosophiques qui ont en commun de poser la démonstration comme l’idéal à suivre dans la connaissance, quatre doctrines affirmant que la science doit toujours s’efforcer de démontrer tant qu’elle le peut, mais invoquant pour cela quatre justifications différentes. Les deux premières doctrines correspondent assez bien aux deux premiers arguments de Schopenhauer et proposent un type non-euclidien de démonstration, ce qui donne en quelque sorte raison à la critique du philosophe allemand. Dans les deux autres, en revanche, tout se passe comme si les deux dernières objections de Schopenhauer étaient retournées et transformées en arguments favorables à Euclide.

a- La science doit démontrer, soutient Aristote, parce que son objectif est de connaître le « pourquoi », la cause, et que cette connaissance est atteinte grâce au syllogisme, qui est une forme de démonstration. Par exemple, le syllogisme célèbre

Tous les hommes sont mortels

Or Socrate est un homme

Donc Socrate est mortel

fait apparaître le moyen terme « homme » comme étant la cause de la mortalité de Socrate. Il y a certes plusieurs sciences, puisqu’il y a plusieurs genres de l’être ; mais quel que soit le genre de l’être que l’on considère, le rapport entre ce genre et les individus qui en relèvent impose à la science la forme démonstrative du syllogisme.

b- Si la science doit démontrer, soutient Descartes, c’est au contraire parce qu’il n’y a qu’une seule science, qui résulte de l’application à n’importe quel objet d’une même lumière, celle de l’esprit humain. L’ordre démonstratif n’est donc pas calqué sur l’ordre des choses : il est l’ordre par lequel l’esprit « apprend », passe d’une vérité à une seconde vérité qui a besoin de la première pour être saisie, puis à une troisième qui a besoin de la seconde pour être saisie, et ainsi de suite. Cet ordre de découverte ou d’invention, Descartes l’appelle « analyse » et l’oppose, dans les Secondes Réponses, à la « synthèse » des géomètres, plutôt faite pour « arracher le consentement du lecteur, tant obstiné et opiniâtre qu’il puisse être ».

c- Mais si la science doit démontrer, soutient Pascal, c’est précisément pour arracher le consentement, « forcer » la conviction : un tel objectif est parfaitement honorable. Certes, la forme suprême de persuasion est celle du croyant authentique, de l’homme que Dieu dispose à aimer ce qu’il doit croire. Mais si l’on s’en tient à l’ordre humain, où notre comportement dominant est d’adhérer à ce qui nous séduit et à nous inventer ensuite des justifications, il n’y a pas pour nous d’attitude plus noble que celle qui consiste à ne céder qu’à des raisons, à n’accepter que ce qui est démontré. Cet idéal est atteint, autant qu’il peut l’être, par la géométrie, qui certes ne démontre pas tout, mais démontre tout ce qui a besoin, si peu que ce soit, de l’être, ne laissant sans démonstration que ce qui est absolument évident.

d- Qui va décider, demande toutefois Leibniz, si une proposition est absolument évidente ou non ? Sur ce point comme sur les autres, nous ne pouvons nous fier à l’intuition, nous avons besoin d’un critère formel. Et c’est pour cela, soutient-il, que la science doit démontrer. Elle n’aurait pas à le faire si nous étions capables de voir la vérité, mais nous ne le sommes pas. Dans cet univers monadologique, où chaque individu exprime un point de vue sur l’ensemble, seul Dieu, la monade centrale, a le privilège de la vision intégrale authentique, de la véritable connaissance intuitive. Ce que Dieu voit ainsi, l’esprit humain le perçoit également, certes, mais pour ainsi dire en biais, de façon oblique, symbolique, et pour tout dire « aveugle ». Notre déficit d’intuition, nous devons le compenser comme on compense un handicap, grâce à des techniques de substitution, des « béquilles » dira plus tard Schopenhauer. C’est donc légitimement que nous avons recours, en géométrie et ailleurs, au « principe de contradiction » ainsi qu’au « principe du tiers-exclu » : l’usage de ces principes est indispensable, par exemple, quand on veut prouver qu’une proposition doit être vraie puisque son contraire est impossible, alors même qu’on ne voit pas pourquoi elle doit être vraie, ce qu’on appelle une « démonstration par l’absurde ».

La philosophie peut-elle démontrer ?

Si la démonstration est un idéal pour la connaissance dite « scientifique », l’est-elle également pour cette autre forme de connaissance qu’on appelle « philosophie » ? L’Éthique de Spinoza est à cet égard une référence magistrale autant qu’exceptionnelle. Traitant de Dieu, de l’âme humaine, de nos affections, de la servitude où nous plongent ces affections et de la façon dont nous pouvons nous en libérer, abordant par conséquent des domaines que l’on croit généralement rebelles à la démonstration, cet ouvrage entreprend d’en parler « suivant l’ordre géométrique » : chacune de ses parties commence par une série de définitions et d’axiomes, et consiste en un ensemble de propositions numérotées et explicitement démontrées à partir de ces définitions et axiomes ou de propositions antérieures. Il est clair que Spinoza n’utiliserait pas une telle méthode s’il ne partait de la conviction que l’entendement humain est capable d’accéder à une compréhension parfaite de Dieu et de toutes choses. En retour, la mise en œuvre de la méthode géométrique permet de justifier la conviction en question : l’Éthique démontre en effet que l’entendement humain, partie de l’entendement divin, est de même nature que lui ; qu’à cause de notre finitude notre connaissance est certes souvent « inadéquate », étant faite d’idées qui ne sont que des fragments des idées de Dieu ; que notre finitude, toutefois, ne nous empêche pas d’accéder à une connaissance « adéquate », faite d’idées complètes, une connaissance identique, par conséquent, en Dieu et en nous ; et que c’est précisément dans la démonstration « suivant l’ordre géométrique » que l’on trouve ce genre de connaissance.

Il est permis de penser que Kant vise Spinoza lorsqu’il écrit, dans le chapitre de la Critique de la raison pure consacré à la « discipline de la raison pure dans l’usage dogmatique », « qu’il ne convient nullement à la nature de la philosophie … de se parer des titres et des insignes de la mathématique … ». La philosophie est en effet, explique-t-il, une connaissance par concepts, tandis que la mathématique est une connaissance « par construction de concepts ». Construire un concept (par exemple le concept de triangle : figure renfermée entre trois lignes droites), c’est présenter a priori l’intuition qui correspond à ce concept. Le philosophe pourra analyser autant qu’on le veut le seul concept de triangle, il n’en tirera aucune propriété nouvelle : il faut le construire pour pouvoir déduire ces propriétés. En d’autres termes, il n’y a de « démonstration » à proprement parler qu’en mathématiques. Kant retrouve donc à sa façon la double polarité traditionnelle de la démonstration, à la fois déductive et intuitive. Le rôle de l’intuition, précise-t-il, est celui d’un garde-fou. Elle garantit le raisonnement de l’erreur en le en mettant devant les yeux : grâce à elle, tout faux pas devient visible.

N’étant qu’une connaissance par concepts, la philosophie n’est pas garantie, elle, contre le risque d’une logique devenue folle. Dans ses spéculations métaphysiques sur le Moi, sur Dieu ou sur le Monde dans sa totalité, elle « démontre » impeccablement, par exemple, que le monde a un commencement dans le temps et des limites spatiales, et tout aussi impeccablement qu’il n’a ni commencement dans le temps ni limite dans l’espace. Que faire alors ? Faute d’une intuition permettant de rendre visibles les faux pas, la philosophie peut seulement se faire « critique », opposer l’une à l’autre les deux démonstrations, les neutraliser l’une par l’autre en montrant que leur antinomie est inscrite dans la nature même de la raison humaine, et proposer en guise de solution une sorte de traité de paix susceptible de mettre fin, non au conflit, mais à l’espoir d’une victoire. Renonçant à démontrer, elle s’emploiera à clarifier nos concepts, afin de ramener, conclut Kant, « la présomption de la spéculation à une modeste, mais solide connaissance de soi-même ».

En lien avec cette notion, on pourra lire, dans le chapitre "Penser avec les maîtres":

- Platon: Les ombres

- Aristote: La fatigue d'être

- Descartes: Le malin génie

- Pascal: Faute de mieux

- Spinoza: Persévérer dans son être

- Leibniz: Pourquoi ainsi plutôt qu'autrement?

- Kant: Le sens des limites

- Schopenhauer: Métaphysique de l'amour

Dans le chapitre "Conférences":

- Berkeley et les mathématiques

Dans le chapitre "Explications de textes":