La Probabilité

LA PROBABILITÉ

Introduction : Probabilité objective ou probabilité subjective : deux interprétations équivalentes ?

Que veut dire celui qui affirme, par exemple, qu’en hiver, dans les pays du Nord de l’Europe, la neige est « probable » ? On peut penser que son intention est de formuler une sorte d’hypothèse : bien qu’un hiver sans neige soit toujours possible dans ces contrées, la tendance prépondérante, celle qui a le plus de chances de s’y réaliser, c’est, conjecture-t-il, la tendance à la neige. Il y aurait donc, sous-jacent à certains événements, un conflit de tendances contraires inégales, et ce conflit caractériserait les cas où il est pertinent d’utiliser des mots tels que « probable » et « improbable », ou « plus probable » et « moins probable ». Ces mots devraient en revanche être bannis lorsqu’on aborde une autre région du réel, celle qui n’est pas régie par des tendances contraires inégales, mais par des « lois de la nature », en vertu desquelles ce qui arrive est nécessaire, et son contraire impossible : qu’un rayon lumineux doive se propager en ligne droite, cela ne peut être qualifié de « probable ».

Certains objecteront que ce prétendu contraste entre deux régions du réel est en fait la projection illusoire d’un simple contraste intérieur, subjectif, le contraste entre la certitude qui accompagne toute science accomplie et l’incertitude caractérisant ce que nous ne connaissons qu’incomplètement : quand nous ignorons selon quelles lois certains événements se produisent, quand, pour cette raison, nous pouvons seulement constater qu’ils se produisent tantôt ainsi, tantôt autrement, et plus souvent ainsi qu’autrement, nous imaginons qu’il n’y a pas de loi, mais des tendances contraires inégales. Or nous n’avons pas besoin d’imaginer cela, prétend l’objecteur, pour justifier l’usage, dans un tel cas, de « probable » et « improbable », « plus probable » et « moins probable ». La véritable fonction de ces mots n’est pas de décrire ce qui se joue sous les événements, mais au contraire d’exprimer notre relative ignorance de ce qui se joue sous les événements : faute du savoir qui me permettrait d’affirmer à coup sûr que quelque chose se produira ou ne se produira pas, je peux seulement, en tenant compte de mon degré de connaissance, affirmer que cela me paraît probable ou improbable.

Ai-je recours à la notion de probabilité parce que j’ai su reconnaître la propriété objective d’un certain type de réalité, ou au contraire parce que cette réalité m’échappe et me laisse dans l’incertitude ? Rien ne peut être plus opposé que ces deux interprétations, et pourtant, étrangement, l’usage effectif de la notion semble devoir être identique dans les deux cas. Car que j’adopte un point de vue « objectiviste » ou « subjectiviste », ce que je jugerai « le plus probable » sera toujours « ce qui arrive le plus souvent » : soit parce que j’estimerai raisonnable de supposer que la plus grande fréquence témoigne d’une propension plus forte à se réaliser, soit parce que cette plus grande fréquence, bien qu’elle ne suffise pas à me rendre certain, autorisera chez moi un degré de confiance qui lui est proportionné. Cette équivalence des interprétations antagonistes demeure quand la mesure de la probabilité prend une valeur numérique, quand elle fait l’objet d’un calcul. À la question « quelle est la probabilité qu’une pièce lancée tombe sur pile ? », je répondrai 1/2 parce que je conjecture qu’une pièce non truquée lancée sur un espace plan est un système physique impliquant l’impossibilité de la position verticale et l’égalité de chances entre les deux faces, ou alors je répondrai également 1/2 parce que j’estime que mon incapacité de prédire le résultat m’interdit de préférer, si peu que ce soit, l’une des deux réponses à l’autre.

Est-il toutefois concevable qu’une opposition aussi radicale dans l’interprétation de la notion n’affecte jamais son usage ? Ne peut-on imaginer une sorte d’épreuve cruciale susceptible de départager, par leurs conséquences, les deux approches antagonistes, de rompre leur apparente équivalence ? Pour y parvenir, il est d’abord nécessaire que nous examinions comment chacune, prise à part, justifie ses prétentions.

1. L’exigence rigoureuse d’une science non rigoureuse (Aristote)

Commençons par Aristote qui, au premier chapitre de son Éthique à Nicomaque, traité consacré à la vie vertueuse, nous prévient que dans un pareil domaine on ne saurait espérer des démonstrations aussi rigoureuses que celles des mathématiques : « il est d’un homme cultivé, écrit-il, de ne chercher la rigueur pour chaque chose que dans la mesure où la nature du sujet l’admet ». On le voit : si la rigueur mathématicienne est bannie de l’éthique, c’est au nom d’une rigueur supérieure, celle de la « culture » qui ordonne chaque forme de savoir à ce qu’exige précisément son objet. Ce serait manquer de cette rigueur suprême que de vouloir imposer à l’étude de la vie vertueuse une rigueur démonstrative qui ne lui convient pas, parce qu’elle ne vaut que pour des choses qui « arrivent toujours », nécessairement de la même façon, alors que l’éthique a affaire à ce qui « arrive le plus souvent », à ce qui est certes « constant », mais peut donner lieu à des exceptions, bref à ce que nous appelons le probable.

D’où vient cette différence entre « ce qui arrive toujours » et « ce qui arrive le plus souvent », entre le « nécessaire » et le « constant » ? Pourquoi tout n’est-il pas « nécessaire » ? Parce qu’en toute chose de notre monde, explique Aristote, il convient de distinguer la « forme » et la « matière ». La forme de la chose, c’est la chose elle-même en tant qu’elle est déterminée, c’est-à-dire nommable, descriptible, prévisible. La matière de la chose, c’est la menace d’indétermination, de brouillage, de marginalité, de surprise, que cette forme n’est jamais assez puissante pour conjurer. Pour que tout soit nécessaire, il faudrait que les choses soient de pures formes, sans matière. C’est ce qui n’a lieu, soutient Aristote, que dans la partie céleste de l’univers, dans le « monde supralunaire » : les astres qui peuplent ce monde, et leurs mouvements parfaits, sont l’objet d’une science parfaitement rigoureuse. Tel n’est pas le cas de notre « monde sublunaire », monde de formes incarnées, donc sujettes à la dégradation. Assez présentes dans ce monde pour garantir la constance des choses qui le peuplent, ces formes ne peuvent garantir davantage. Cela suffit tout juste pour que nous raisonnions correctement sur les choses d’ici-bas, pour que nous formulions à leur propos des principes qui ne peuvent être, au mieux, que probables, principes d’où nous tirons des conséquences également probables : science dégradée, dont l’absence de rigueur est rigoureusement adéquate à la dégradation ontologique de son objet.

Nous trouvons donc chez Aristote les deux idées directrices d’une conception « objective » de la probabilité : d’abord l’idée que toute science est tenue de se conformer à la nature de son objet, ensuite l’idée que si certains objets ont pour nature d’être toujours strictement fidèles à eux-mêmes, d’autres, par essence, ne le sont qu’en général, fréquemment. Ce qu’Aristote exclut, en revanche, c’est l’idée moderne d’une science mathématique des probabilités. La rigueur mathématique ne convenant qu’à des êtres immatériels, toute science portant sur le monde sublunaire sera forcément non mathématique pour être la science qu’elle doit être. À cela s’ajoute un autre motif, qui concerne spécifiquement la notion de probabilité. Pour le comprendre, revenons sur le rôle de la matière, à cause de quoi toute chose « est susceptible d’être autre qu’elle n’est le plus souvent » (Métaphysique, E, 2). La matière est la cause de l’imprévu, de l’inhabituel, de l’exception, de ce qu’Aristote appelle « l’accident » : or « il n’y a pas de science de l’accident », écrit-il dans le même chapitre. Le seul objet de science possible, c’est ce qui reste du réel quand on met de côté les accidents, autrement dit « ce qui arrive le plus souvent », forme dégradée de « ce qui arrive toujours ». Refusant ainsi de tenir ensemble, sur la même ligne, le rare et le fréquent, l’exceptionnel et le régulier, le très improbable d’un côté et le très probable de l’autre, Aristote ne fait aucune place à l’idée de « plus ou moins probable » et s’interdit par conséquent tout calcul des probabilités. Pour qu’un tel calcul soit concevable, il faudra qu’apparaisse une science capable de prendre en compte, à côté de ce qui arrive toujours, non seulement ce qui arrive le plus souvent, mais aussi ce qui arrive le moins souvent.

2. Comment l’ignorance peut tenir lieu de connaissance (Hume)

Cette prise en compte du moins fréquent à côté du plus fréquent, elle se réalise en revanche sans difficulté lorsqu’on aborde la probabilité comme un phénomène subjectif, dû à notre ignorance. David Hume est l’un des représentants les plus éminents de cette conception.

Lisons, dans l’Enquête sur l’entendement humain de Hume, le court chapitre intitulé « La probabilité », et en particulier la remarquable première phrase de ce chapitre : « Bien qu’il n’y ait rien de tel que le hasard dans le monde, écrit Hume, notre ignorance de la cause réelle d’un événement a la même influence sur l’entendement, et elle engendre la même sorte de croyance ou d’opinion. » Les mots « rien de tel que le hasard » marquent une rupture radicale avec la thèse aristotélicienne selon laquelle il y aurait deux réalités, l’une régie par la stricte nécessité, l’autre laissant une place à l’exception imprévisible, à la contingence, au hasard. Non, répond Hume, il n’y a qu’une seule réalité. Dirons-nous alors que la nécessité est partout ? Nous pourrions aussi bien dire que le hasard est partout. Car s’il n’y a « pas de hasard » (donc pas de probabilité objective), tout se passe subjectivement, affirme Hume, comme s’il y en avait un, et comme s’il était universel, puisque notre ignorance des causes exerce, sur notre entendement, « la même influence » que celle qu’exercerait le hasard s’il existait, et produit en nous « la même sorte de croyance et d’opinion ».

En parlant de « notre ignorance de la cause réelle », Hume n’entend pas, en effet, évoquer une simple lacune qu’un examen sérieux permettrait de combler, mais la dimension essentielle de notre esprit : nous ignorons, et ignorerons toujours, ce qui relie les causes à leurs effets. Nous l’ignorons quand cette connexion est très complexe, par exemple quand il s’agit d’un dé qu’on lance en l’air, qui tombe, roule un certain temps sur la table et finit par s’arrêter en présentant une de ses faces. Mais nous l’ignorons également dans le cas d’une connexion plus immédiate, comme celle du feu et de la brûlure, de l’eau et de la suffocation. Nous l’ignorons au commencement, lors de notre première rencontre avec un phénomène. Et nous continuerons de l’ignorer par la suite, quel que soit le nombre de nos rencontres avec ce même phénomène. Entre-temps, toutefois, notre état d’esprit aura complètement changé : c’est là, selon Hume, que tout se joue.

Quand nous sommes pour la première fois en face d’un phénomène quelconque, notre ignorance des connexions cachées fait que rien ne vient limiter notre imagination : n’importe quoi, pensons-nous alors, pourrait être l’effet de ce phénomène. Cette manifestation initiale de notre ignorance, cette égalité supposée de tous les possibles, l’expérience va ensuite la détruire en nous montrant que le phénomène en question est associé, soit « toujours », soit « le plus souvent », à tel ou tel autre phénomène. Si c’est toujours le cas, nous serons tellement accoutumés à voir le second phénomène suivre le premier que nous n’attendrons plus que lui, avec une confiance sans faille, n’imaginant pas qu’il puisse en être autrement : nous parlerons alors de « nécessité ». Si c’est seulement le plus souvent, si nous avons rencontré quelques exceptions, une accoutumance moins forte, puisqu’elle est parfois prise au dépourvu, modérera notre confiance, nous incitant à n’escompter qu’avec réserve le retour du cas le plus fréquent, à proportion de sa fréquence relative. Il pourra même arriver, par exemple dans le jeu de pile ou face, que les sollicitations à anticiper un résultat ou un autre s’équilibrent parfaitement dans notre esprit. Jamais, on le voit, l’expérience ne nous fait découvrir, si peu que ce soit, le secret de la connexion réelle. Elle ne fait que nous modifier, c’est-à-dire modifier la façon dont nous vivons notre ignorance de ce secret. Dans son moment initial, quand elle nous fait penser que n’importe quoi pourrait arriver, cette ignorance équivaut bien, comme le dit Hume, à ce que serait l’appréhension d’un pur hasard objectif. Et dans son moment final, quand elle nous fait croire que ce à quoi nous sommes le plus accoutumés a le plus de chances de se reproduire, elle équivaut bien à ce que serait l’appréhension d’une probabilité objective.

Aussitôt proclamée, la rupture anti-aristotélicienne est donc comme annulée, dans cette remarquable première phrase, par l’idée que les deux thèses contraires reviennent au même : au moment où il s’affirme avec éclat, le subjectivisme prétend être indiscernable de l’objectivisme qu’il rejette. Il doit en être ainsi dans une philosophie qui se propose d’expliquer comment notre ignorance peut tenir lieu de la connaissance que nous n’avons pas.

3. Hypothèse de probabilité ou probabilité d’hypothèse (Popper)

Mais s’il en est bien ainsi, celui qui entend défendre avec succès l’interprétation objective est tenu de prouver qu’elle n’est pas du tout équivalente à l’interprétation subjective. Il lui faut établir que le choix entre ces deux interprétations entraîne des conséquences divergentes, et d’une divergence tangible, observable. Il lui faut donc réfuter ce que nous suggérions en introduction, à savoir qu’il revient au même de dire « la probabilité que cette pièce tombe sur pile est 1/2 », ou de dire « j’ai une chance sur deux de gagner si je parie sur pile » : n’est-ce pas pourtant, formulée de deux façons, la même proposition du calcul des probabilités ?

En raison même de sa prétention objective, la première formulation est exposée au risque d’un démenti expérimental. Il pourrait se faire, par exemple, qu’un habile trucage de la pièce en question rende la probabilité de tomber sur pile supérieure ou inférieure à 1/2 : une succession assez longue de lancers mettrait en évidence un tel trucage. Malgré son apparence catégorique, la première formulation est donc en réalité une hypothèse, conjecturant que rien n’est truqué dans l’objet et que les deux propensions physiques opposées sont bien égales.

Si la seconde formulation est équivalente à la première, on doit pouvoir la concevoir également comme une hypothèse. Non pas, évidemment, une hypothèse portant sur une probabilité objective, mais une hypothèse que l’expérience rend subjectivement plus ou moins probable, c’est-à-dire plus ou moins digne de confiance : on dira alors que l’hypothèse selon laquelle la pièce tombera sur pile a une probabilité de 1/2, voulant signifier par là que cette hypothèse a autant de chances d’être vraie que d’être fausse.

Voyons maintenant ce qui se passe quand une longue succession de lancers indique que les « pile » et les « face » tendent à s’équilibrer. S’il défend l’interprétation objective, celui qui a conjecturé ce résultat estimera que son hypothèse est hautement corroborée : il ne se contentera certainement pas de lui accorder un degré de confiance de 1/2 , comme doit le faire, dans les mêmes conditions, pour sa propre hypothèse, le partisan de l’interprétation subjective. Voilà la conséquence divergente que nous cherchions : contrairement à l’interprétation subjective, l’interprétation objective dissocie la probabilité dont traite une hypothèse et la probabilité que cette hypothèse soit vraie. Allons plus loin : ce qu’implique au fond cette interprétation, c’est que l’assentiment donné à une hypothèse n’a rien à voir avec une évaluation de sa probabilité, ne relève pas du calcul des probabilités. L’histoire des sciences nous montre que des théories mille fois confirmées ont été abandonnées à la première réfutation : si elle avait été soumise au calcul des probabilités, cette situation n’aurait suscité qu’une légère baisse de la confiance. Et l’on n’imagine pas qu’une théorie qui aurait été réfutée une fois sur deux fût encore « à moitié » acceptée ! Non seulement les hypothèses scientifiques ne sont pas « probables » au sens mathématique de ce mot, mais il n’est pas du tout désirable qu’elles le soient. Privilégier l’hypothèse la plus probable, celle qui a le plus de chances, a priori, d’être confirmée, celle qui s’expose donc le moins possible au risque de rencontrer du nouveau, de l’inattendu, du déconcertant, c’est forcément vouloir aller le moins possible au-delà de ce qui est déjà connu, déjà établi par l’expérience. On se demande alors, note Karl Popper au § 83 de sa Logique de la découverte scientifique, pourquoi il vaudrait la peine de formuler des hypothèses. La réponse est que nous ne cherchons pas des hypothèses probables, mais au contraire des hypothèses hautement improbables a priori : seule cette improbabilité donne de la valeur à leur corroboration.

La prétendue équivalence entre interprétation objective et interprétation subjective de la probabilité n’est ainsi qu’une apparence. L’une et l’autre aboutissent à des résultats complètement différents lorsqu’il s’agit d’apprécier, en fonction de l’expérience, notre degré d’assentiment envers une hypothèse ou une théorie. Pour l’objectiviste, la façon dont son adversaire traite cette question est entachée d’une erreur fondamentale, celle qui consiste, écrit Popper au § 81 du même ouvrage, « à attribuer à des hypothèses de probabilité un certain degré de prétendue probabilité d’hypothèses ».

En lien avec cette notion, on pourra lire, dans le chapitre « Penser avec les maîtres » :

- Aristote : La fatigue d’être

- Hume : L’énigme des faits

- Popper : L’erreur est humaine

Dans le chapitre « Explications de textes »:

- Aristote : Les futurs contingents

- Pascal: Le pari

- Hume : Les miracles

Et dans le chapitre « Notions »:

- La Contingence

- Le Hasard

- L'Ignorance